Процентные ставки простые и сложные: Простые и сложные проценты: понятие и формулы – Простые и сложные проценты. Калькулятор сложных процентов

Ноя 28 2019

Содержание

Простые и сложные процентные ставки

Как уже отмечалось выше (см. Базовые концепции финансового менеджмента), временная стоимость денег может быть выражена несложной зависимостью (формулой) математического дисконтирования: PV = FV/(1 + r), (2.1)

где через PV обозначена текущая (дисконтированная) стоимость будущего денежного потока; через FV – будущая (наращенная) стоимость текущего денежного потока; через r – ставка доходности, соответствующая оценке инвестором уровня риска. Формула, обратная формуле (2.1), носит название формулы наращения: FV = PV(1 + r). (2.2)

В формулах (2.1) и (2.2) ставка r представляет собой периодическую ставку, соответствующую одному периоду времени между текущим и будущим денежными потоками (в качестве такого периода может выступать год, квартал, месяц и др.) Если таких периодов до будущего платежа несколько, то формулы (2.1) и (2.2) примут соответственно вид

PV = FV/(1 + r)ⁿ, (2.1′)

FV = PV(1 + r)ⁿ. (2.2′)

Формула (2.2′) выражает начисление процентов по сложной ставке. При этом процентный доход начисляется не только на основную сумму PV, но и на ранее начисленные проценты. В финансовом менеджменте использование сложного процента означает неявное предположение о реинвестировании получаемого дохода под действующую ставку доходности.

В некоторых случаях используется и ставка простого процента, начисляемая по формуле

FV = PV(1 + пr). (2.3)

При этом проценты начисляются только на основную сумму PV. Использование простых процентов правомерно в случаях, когда начисление производится за период, меньший, чем промежуток времени между соседними начислениями (выплатами) дохода.

Внутригодовые процентные начисления

В современной практике достаточно часто встречаются случаи, когда начисление процентов по некоторой номинальной годовой процентной ставке r

осуществляется чаще, чем один раз в год. В частности, таким образом обычно начисляются проценты по банковским вкладам. В этом случае проценты, начисленные по подпериодам в соответствии с периодичностью начисления, будут реинвестироваться под ставку, равную номинальной годовой деленной на количество периодов начисления в году. Наращенная стоимость в таком случае будет иметь вид FV = PV(1 + r/m)^mn, (2.4)

где m — количество начислений в году, r — номинальная годовая процентная ставка, n — количество лет. Очевидно, что чем чаще происходит начисление процентов при одной и той же номинальной годовой ставке, тем выше будет начисленная сумма. При этом если устремить число начислений

m к бесконечности, то есть продолжительность периода начисления – к нулю, то формула (2.4) примет вид^²

FV = PV℮^r
n, (2.4′)

где ℮ — основание натурального логарифма. Начисление процентов по формуле (2.4′) носит название непрерывного и используется в теории управления инвестиционным портфелем.

Эффективная годовая процентная ставка

Управленческая практика достаточно часто требует сравнения эффективности различных схем начисления процентов. Удобным инструментом для проведения подобных сравнений служит так называемая эффективная годовая процентная ставка, которую обычно обозначают

R. Эффективная годовая ставка представляет собой процентную ставку с периодом начисления один год, эффект начисления которой эквивалентен начислению номинальной или периодической процентной ставки m раз в год. Соответственно эффективная годовая ставка R может быть определена из формулы

1 + R = (1 + r/m)^m. (2.5)

Заметим, что в правой части формулы (2.5) вместо отношения r/m может стоять процентная ставка за соответствующий внутригодовой период.

Простая процентная ставка — это… Что такое Простая процентная ставка?

Процентная ставка (англ. interest rate) — это сумма, указанная в процентном выражении к сумме кредита, которую платит получатель кредита за пользование им в расчете на определенный период (месяц, квартал, год).

С позиции теории денег, процентная ставка — это цена денег как средства сбережения.

Проценты — это доход от предоставления капитала в долг в разных формах (ссуды,кредиты) либо это доход от инвестиций производного финансового характера.

Простые, сложные и непрерывно начисляемые проценты

При многократном начислении простых процентов начисление делается по отношению к исходной сумме и представляет собой каждый раз одну и ту же величину. Иначе говоря,

$S = P + P\cdot n\cdot i = (1 + ni)P$

где

P — исходная сумма
S — наращенная сумма (исходная сумма вместе с начисленными процентами)
i — процентная ставка, выраженная в долях
n — число периодов начисления

В этом случае говорят о простой процентной ставке.

При многократном начислении сложных процентов начисление каждый раз делается по отношению к сумме с уже начисленными ранее процентами. Иначе говоря,

S = (1 + i)ⁿP

(при тех же обозначениях).

В этом случае говорят о сложной процентной ставке.

Часто рассматривается следующая ситуация. Годовая процентная ставка составляет

j, а проценты начисляются m раз в году по сложной процентной ставке равной j / m (например, поквартально, тогда m = 4 или ежемесячно, тогда m = 12). Тогда формула для наращенной суммы будет выглядеть:

$S = \left(1 + \frac{j}{m}\right)^{nm}P$

В этом случае говорят о номинальной процентной ставке. Сравнение сложных процентных ставок с разными интервалами начисления производят при помощи показателя годовая процентная доходность(APY).

Наконец, иногда рассматривают ситуацию так называемых непрерывно начисляемых процентов, то есть годовое число периодов начисления m устремляют к бесконечности. Процентную ставку обозначают δ, а формула для наращенной суммы:

S = e^δnP.

В этом случае номинальную процентную ставку δ называют сила роста.

Реальная и номинальная ставка

Различают номинальную и реальную процентную ставку.

Реальная процентная ставка — это процентная ставка, очищенная от инфляции.

Взаимосвязь реальной, номинальной ставки и инфляции в общем случае описывается следующей (приближённой) формулой:

i_r = i_n − π

где:

i_n — номинальная процентная ставка
i_r — реальная процентная ставка
π — ожидаемый или планируемый уровень инфляции.

Ирвинг Фишер предложил более точную модель взаимосвязи реальной, номинальной ставок и инфляции, выражаемую названной в его честь формулой Фишера:

$i_r = \frac{1 + i_n}{1 + \pi} - 1$

Легко видеть, что при небольших значениях уровня инфляции π результаты мало отличаются, но если инфляция велика, то следует применять формулу Фишера.

Согласно Фишеру, реальная процентная ставка численно должна быть равна предельной производительности капитала.

Ссылки

См. также

Правило семидесяти — способ интуитивно оценить величину ставки.
рентабельность, рента, аренда денег (капитала)
прибыль, доход, дивиденды,дисконт,налог,акциз,профицит,выручка,заработная плата,процент
займ,ссуда,кредит
инфляция

Литература

Джон К. Халл Глава 4. Процентные ставки // Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты = Options, Futures and Other Derivatives. — 6-е изд. — М.: «Вильямс», 2007. — С. 133-165. — ISBN 0-13-149908-4

Wikimedia Foundation. 2010.

Простая и сложная процентные ставки

⇐ ПредыдущаяСтр 11 из 36Следующая ⇒

«Прямые» формулы

«Обратные» формулы

Переменная процентная ставка и реинвестирование вкладов

Пусть срок долга имеет этапов, длина которых равна , ,

— при схеме простых процентов

Примеры:

1. В контракте предусмотрено начисление а) простого, б) сложного процента в таком порядке: в первом полугодии по годовой процентной ставке 0,09, потом в следующем году ставка уменьшилась на 0,01, а в следующих двух полугодиях увеличилась на 0,005 в каждом из них. Найти величину наращенного вклада в конце срока, если величина первоначального вклада равна $800.

а)

б)

Рыночная процентная ставка как важнейший макроэкономический показатель

Важным макроэкономическим показателем выступает процентная ставка. Процентная ставка — это плата за деньги, предоставляемые в кредит. Были времена, когда законом не допускалось вознаграждение за то, что неизрасходованные, заемные деньги давали в заем. В современном мире широко пользуются кредитами, за пользование которыми устанавливается процент. Поскольку процентные ставки измеряют издержки использования денежных средств предпринимателями и вознаграждение за неиспользование денег потребительским сектором, то уровень процентных ставок играет значительную роль в экономике страны в целом.

Очень часто в экономической литературе пользуются термином «процентная ставка», хотя существует множество процентных ставок. Дифференциация процентных ставок связана с риском, на который идет заимодатель. Риск возрастает с увеличением срока кредита, так как становится выше вероятность того, что деньги могут потребоваться кредитору раньше установленной даты возврата ссуды, соответственно повышается процентная ставка. Она увеличивается, когда за кредитом обращается малоизвестный предприниматель. Мелкая фирма уплачивает более высокую процентную ставку, чем крупная. Для потребителей процентные ставки также варьируются.

Однако как бы ни отличались ставки процента, все они находятся под воздействием рыночного механизма: если предложение денег уменьшается, то процентные ставки увеличиваются, и наоборот. Именно поэтому рассмотрение всех процентных ставок можно свести к изучению закономерностей одной процентной ставки и в дальнейшем оперировать термином «процентная ставка»

Различают номинальные и реальные процентные ставки

Реальная процентная ставка определяется с учетом уровня инфляции. Она равна номинальной процентной ставке, которая устанавливается под воздействием спроса и предложения, за вычетом уровня инфляции:

= i — %ΔP

§ — реальная процентная ставка;

§ — номинальная процентная ставка;

§ — общий уровень цен.

Если, например, банк предоставляет кредит и взимает при этом 15%, а уровень инфляции составляет 10%, то реальная процентная ставка равна 5% (15% — 10%).

Способы начисления процентов:

Декурсивный способ	проценты начисляются в конце каждого интервала начисления	ссудный процент
Антисипативный способ	проценты начисляются в начале каждого интервала начисления	учетная ставка

§ — проценты за весь срок ссуды

§ — первоначальная сумма долга

§ — наращенная сумма, то есть сумма в конце срока

§ — ставка наращения процентов

§ — срок ссуды

	Простая процентная ставка	Сложная процетная ставка
Начисленные за весь срок проценты:
Наращенная сумма

Структура процентной ставки

Из чего складывается и зависит величина процентной ставки? Издревле этот вопрос задавался бесчисленное множество раз. Ответы на него давались разные, однако после работ И. Фишера и Дж. М. Кейнса выполненных в тридцатые годы прошлого столетия по данному вопросу появилось в определенной степени «общепринятое мнение», которое получило развитие в 50-60-е гг. в работах Г. Марковица, У. Шарпа и других.

Итак, что мы знаем о структуре процентной ставки? Мы знаем, что согласно И. Фишеру зависимость между номинальной и реальной ставками процента описывается уравнением:

(1)

где r_n – номинальная ставка процента,

r_r — реальная ставка процента,

i – уровень инфляции за период.

Мы также знаем «по Марковицу и Шарпу», что в реальной инвестиционной деятельности процентная ставка является комбинацией двух величин – ставки процента в отсутствие риска и премии за наличие риска:

(2)

где r – ставка процента характерная для будущих денежных потоков проекта (актива) имеющего определенный риск инвестирования,

r_f— ставка процента по безрисковым вложениям,

p — премия за риск инвестирования в подобные проекты (активы)[1] .

Таким образом, из работ классиков известно, что уровень процентной ставки является функцией очищенной от инфляции безрисковой ставки, инфляции и компенсации (премии) за риск:

(3)

где r_n– номинальная процентная ставка рискового проекта (актива),

r_fr — очищенная от инфляции безрисковая ставка процента.

Можно ли дальше расщепить какую-либо из компонент входящих в выражение (3)?

Конечно, можно! Самые наглядные примеры – модель кумулятивного построения (build up) и многофакторные модели арбитражного ценообразования (APT). Здесь наступил момент, когда автор настоящей статьи считает возможным сделать переход от «объективно-созерцательного» к «пристрастно-субъективному» изложению материала. По мнению автора, модель кумулятивного построения появилась на свет не от хорошей жизни, а из принципа заполнения вакуума. Идея проста: взяли исторически наблюдаемую максимальную премию как максимальное превышение рисковых ставок над безрисковыми и поделили ее на равное число пришедших в голову факторов риска. При реально «зафиксированных» максимальных рисковых ставках на уровне 35%, среднем уровне безрисковой ставки 5% и шести факторах риска (менеджмент, территориальная товарная, снабженческо-сбытовая диверсифицированность и т.п.) получилось, что на каждый компонент риска может приходиться максимум (35-5)/6 = 5%, а минимум – 0%. Все бы ничего, но как-то уж слишком много вопросов возникает к такому упрощенному подходу:

· Почему используются именно эти факторы риска, а не другие?

· Почему по умолчанию полагается, что степень влияния каждого из этих факторов ограничивается максимум пятью процентами?

· Как корректно градуировать каждый из входящих в модель факторов по системе «плохо-хорошо», и какова точность результата получаемого на выходе модели?

Говоря о других многофакторных моделях оценки процентных ставок (ставок дисконтирования), построенных на базе использования корреляционно-регрессионного анализа, автор настоящей статьи находит их значительно более привлекательными в части точности и обоснованности. Однако и у них есть свои минусы: таких моделей слишком много, используемые в них факторы зачастую слишком специфичны, а использованные для их синтеза данные охватывают различные временные ряды, полученные в разное время на различных географических рынках. Все это привело к тому, что на сегодняшний день на рынке нет одной-двух общепринятых моделей такого плана. В этой связи попробуем предложить вариант такой модели, основанной на минимально возможном количестве факторов. Забегая вперед, отметим, что по большому счету это не так сложно: необходимо «всего-то» корректно объяснить, что такое безрисковая ставка и какие могут быть риски инвестирования.

Безрисковая ставка

Безрисковая ставка – это ставка процента в отсутствие рисков. Обычно в качестве наблюдаемых безрисковых ставок используются процентные ставки по правительственным облигациям. Однако следует иметь в виду, что облигации подвержены инфляционному риску (наблюдаются номинальные, а не реальные ставки) и они чуть менее ликвидны, чем деньги. К тому же, в процентных ставках облигаций некоторых стран «зашит» риск дефолта (достаточно вспомнить опыт России образца 1998 г.). Если убрать все возможные риски (инфляцию, неликвидность, дефолт), то сухим остатком будет абсолютно безрисковая ставка (обозначим ее r_nf). Какова природа этой ставки? Эта ставка зиждется на двух взаимодополняющих факторах.

Во-первых, деньги сегодня стоят дороже, чем эти же деньги завтра (послезавтра и в последующие периоды). Если вы кому-то даете взаймы на определенный срок, значит, скорее всего, в течение этого срока вы будете терпеть определенные лишения (меньше тратить на повседневную жизнь, откладывать некоторые покупки на потом).

Во-вторых, нельзя скидывать со счетов ростовщический фактор: если кто-то просит у вас денег взаймы, значит, идя на это, заемщик (берущий деньги) рассчитывает на то, что получив и затем возвратив деньги в назначенный срок, он получит выгоду. Само собой разумеется, осознаете это и вы, и со своей стороны вполне резонно рассчитываете на «справедливую аннексию» части полученной заемщиком выгоды в свою пользу («делиться надо!» — А.Я. Лившиц).

Риски инвестирования

Какие риски поджидают инвестора вкладывающего средства в реальный проект или актив? Существует множество всевозможных рисков, но самые общие из них подразделяются на риск невозврата и риск неликвидности.

Риск невозврата может возникать в двух ситуациях:

1. когда проект (актив, или займополучатель) по объективным причинам не в состоянии вернуть вложенные деньги по причине банкротства, дефолта, халатности финансово-хозяйственной деятельности или форс-мажорных обстоятельств («хочет, но не может»).

2. когда займополучатель сознательно не выполняет обязательств по возврату денежных средств («может, но не хочет»).

Риск неликвидности связан с риском упущенных возможностей. Рассмотрим две ситуации. Предположим, инфляция отсутствует и в обозримом будущем не предвидится.

1. Инвестор покупает неденежный актив, приносящий ему невысокий процент, и у него почти не остается свободных денежных средств, за исключением средств на текущие расходы. Тогда, если ему вдруг представится возможность срочной выгодной покупки хорошего, но дорогого другого актива, он может упустить эту возможность, поскольку, во-первых, другой актив, как правило, нельзя обменять на имеющийся у инвестора актив, а можно купить только за деньги; во-вторых, срок реализации имеющегося актива может превысить время, в течение которого еще можно приобрести другой актив.

2. Инвестор обдумывает дать взаймы денежную сумму абсолютно надежному заемщику на определенный срок под невысокий процент, но не решается на это из-за сомнений типа: «А что, если за это время я упущу какие-либо потенциальные возможности из-за нехватки наличных денег? В конце-концов, могу просто не дожить до обещанного момента возврата».

Рассмотренные примеры объединяет возможность того, что ущерб от меньшей ликвидности неденежных активов может превысить генерируемые ими доходы. Поэтому для компенсации риска неликвидности следует применять премию за неликвидность — p_il:

(4)

или

(5)

где p_il – рыночная премия за риск неликвидности,

i_{срочная} — процентная ставка по срочным депозитам (1 год), или срочным кредитам (в этом случае i_{срочная} берется с отрицательным знаком),

i_{до востребования} — процентная ставка по депозитам до востребования, или кредитам с возможностью досрочного погашения (в этом случае i_{до востребования} берется с положительным знаком),

i_min — минимальная депозитная ставка, при которой возникает эффект ликвидной ловушки (когда владельцев денежных средств не прельщает перспектива суеты и снижения ликвидности своих активов ради символических 2-3% годовых).

Выражения (4) и (5) являются одними из возможных способов оценки премии за пониженную ликвидность.

Кроме рыночной величины премии за неликвидность, для каждого инвестора может быть рассчитана инвестиционная стоимость премии за риск неликвидности — p_INVil:

(6)

где L_c – издержки ликвидности денежных средств, определяемые по формулам авторской модели инвестиционной стоимости ликвидности актива,

L_nc — издержки ликвидности неденежного актива (проекта), определяемые по формулам вышеуказанной модели.

Простые проценты — это… Что такое Простые проценты?